Wir schauen uns gerade an, wie wir für Boson und Fermion tatsächlich in möglichst effizienter Weise

Operatoren darstellen und zwar in der Besetzungszahlbasis. Zum Beispiel hatten wir uns überlegt, ein typischer

Operator, der vorkommt, beispielsweise ein Hamilton-Operator wäre, das irgendein externes

Potential auf jedes der Teilchen wirkt. Und das würden wir dann so hinschreiben, dass wir über

alle Teilchen summieren und dann das Potential anwenden. Und das Potential hängt von der

jeweiligen Teilchenkoordinaten ab. Und wir hatten uns das letzte Mal überlegt, wie man diesen

Operator in der Besetzungszahldarstellung aufschreibt und wie man ihn durch Einführung

von Erzeugern und Vernichtern für Bosonen darstellen kann. Und das hatte sich dann ergeben,

alles was ich tun muss ist, wenn ich die passenden Erzeuger und Vernichter erstmal habe, summieren

über alle Paare von Zuständen in meiner ein Teilchenbasis und dann ausgehen von einem

Zustand, den ich vernichte, mit dem Vernichter AI und enden in einem Zustand, den ich erzeuge.

Und das passiert genau mit der Amplitude, die gegeben ist durch das Matrix-Element von dem

Potential. Also das Matrix-Element in der ein Teilchenbasis zwischen dem Anfangszustand

i und dem Endzustand j. Das sind komplexe Zahlen, Matrix-Elemente in der ein Teilchenbasis,

AI vernichteten Teilchen im Zustand i, aj Kreuz erzeugten Teilchen im Zustand j. Und das

ist tatsächlich gut genug. Und die Matrix-Elemente von diesen Erzeugern und Vernichtern sind

gerade so definiert, dass sie die passenden Matrix-Elemente produzieren, die in der Besetzungszahl-Darstellung

sich ergeben, diese Wurzel aus den entsprechenden Besetzungszahlen. Also insbesondere AI angewendet

auf den Zustand mit ni an dieser Stelle vernichtet ein Teilchen, das heißt ni wird um eines reduziert.

Und gleichzeitig ergibt sich hier ein Vorfaktor Wurzel aus ni. Und entsprechend, wenn ich

aj Kreuz anwende, wird ein zusätzliches Teilchen erzeugt. Und das ergibt sich hier auch wieder

ein Vorfaktor und das ist auch wieder die Wurzel aus einer Besetzungszahl und zwar aus

der größeren von beiden. Also nj plus eins. Und das sind genau die Matrix-Elemente, die

wir schon kennen für den harmonischen Oszillator und das verwundert deswegen nicht, dass die

ganzen Kommutatorrelationen für AI und aj Kreuz genau dieselben sind wie bei den harmonischen

Oszillatoren. Also insbesondere AI, aj Kreuz, Kommutator ist Delta ij. Das heißt, es gibt

gerade dann eins, wenn i und j gleich sind und null sonst, weil für verschiedene Teilchen

sozusagen oder für verschiedene orbitale i und j ist es so, als wären das unabhängige

Oszillatoren. Und insbesondere gilt auch AI, Kommutator mit aj ist immer gleich nil. Das

hatten wir für Bosonen gesehen. Und wenn hier oben nicht das Potential stehen würde, sondern

sagen wir der Impuls oder Impuls quadrat, dann stünden hier halt die Matrix-Elemente vom

Impuls oder Impuls quadrat. Und nun hatten wir begonnen zu versuchen, dasselbe Schema

durchzuführen für Fermions. Auch für Fermions hatten wir schon eine Besetzungszahlbasis

eingeführt. Die Basiszustände, die da dahinter stehen, sind natürlich andere. Es sind keine

symmetrisierten Wellenfunktionen, sondern Determinanten. Und wir hatten schon begonnen,

zu überlegen, was würde passieren, wenn man so einen Operator von dieser Gestalt anwendet

auf eine Determinante. Okay, machen wir ein Beispiel, wenn ich eine Determinante hätte,

wo sagen wir in der ersten Zeile die einen Teilchenbasisfunktion zum Zustand 3 steht

und in der zweiten dann entsprechend zum Zustand 5 und so weiter. Und hier irgendwo der Zustand

20, sagen wir. Was würde dann passieren, wenn ich so einen Operator anwende und wir

hatten es uns sogar noch etwas einfacher gemacht, wir hatten das zerlegt in die elementaren

Übergangsprozesse, die vorkommen können, wo ich also von genau einem Teilchenbasiszustand

ausgehe und in einem anderen lande. Das sind ja auch die Prozesse, die genau durch die

Kombination aj Kreuz ai erzeugt werden. Am Ende können wir dann über alle Paare summieren,

um den ganzen Operator zusammenzusetzen. Und beispielsweise, was würde hier passieren,

wenn man, sagen wir, von 20 nach 2 geht. Und da müssen wir aufpassen, wir müssen summieren

über alle möglichen Teilchen, das heißt hier Summe L gleich 1 bis N und hier wird

der Übergang bewirkt, indem auf die Koordinate XL der Operator angewendet wird. Was da also

passiert ist, dass dieser Zustand 20 geändert wird, in den Zustand 2 in dem Fall. Und das

Problem ist aber jetzt, dass wir dadurch natürlich wieder eine Determinante erhalten,